Le but de ce travail est de mettre en œuvre la théories des perturbations dépendant du temps. Nous commencerons par établir la théorie puis nous mettrons en pratique de façon numérique les résultats obtenus et nous étudierons les diverses approximations et modélisations possibles. Enfin, nous appliquerons nos prévisions dans le cas concret d’une perturbation par impulsion laser.

1)Présentation du système

Considérons le système suivant :

Figure 1

Il s’agit donc d’un système à deux niveaux |y ₁> et |y ₂> états propres d’un hamiltonien H₀, d’énergies E₁ et E₂ (E₁ < E₂). On suppose qu’à l’instant t = 0 le système se trouve dans l’état |y ₁>, on applique au système une perturbation W(t) périodique (de période w ), l’hamiltonien s’écrit donc :

pour t ³ 0

2)Calcul exact

Décomposons |y (t)> sur la base des états propres de H₀ (H₀|y _n> = E_n|y _n>) :



L’équation de Schrödinger s’écrit de façon générale :



Ce qui dans notre cas donne :




Multiplions par le bra <y _m| (autre état propre) et en posant <y _m|W(t)|y _n> = W_nm(t), on obtient :



Ce qui dans notre système à deux niveaux peut encore se réécrire sous la forme d’un système (en posant w _nm = w _n - w _m = w ₂₁) :



(W₂₁ = W₁₂^*)

3)Approximation

L’approximation consiste à développer la perturbation en puissance de l en posant :



Ainsi pour l petit on a :



Les conditions nécessaires sont : .

En identifiant à l’ordre zéro :



Au premier ordre :



Ainsi de suite, à l’ordre r on a :

1)Simulation numérique

Le logiciel Matlabä possède ses propres routines de résolution de systèmes d’équations différentielles à l’ordre 1 (ODE).

La probabilité de transition de l’état 1 vers l’état 2 s’écrit : P₁₂(t) = |<y ₂|y (t)>|². D’où un premier aperçu de la réponse du système à différentes perturbations :

Figure 2

La courbe en gras représente la probabilité pour le système d’être dans l’état |y ₂> et la courbe en trait fin représente la probabilité pour le système d’être dans l’état |y ₁> (ces deux courbes sont bien sur complémentaires à 1).

Un premier coup d’œil à ces résultats nous permet de dire que les perturbations sinusoïdales réelles induisent une double oscillation de la probabilité alors que les perturbations en exponentielles complexes semblent ne faire apparaître qu’une seule fréquence d’oscillations.

2)Perturbations sinusoïdales réelles

W(t) = C.cos(w t) :

Le système d’équations différentielles vu plus haut se réécrit donc :



Posons w = aw ₂₁, notre système devient alors :



Ce système d’équations différentielles peut se résoudre analytiquement. Cependant, une étude qualitative peut suffire à comprendre ce qu’il se passe. En effet, dans ces équations n’apparaissent que deux fréquences :



Il n’apparaît aucun terme quadratique ou non linéaire en général. Même si les exponentielles ne sont pas intrinsèquement linéaires, elles sont les représentations complexes de sinus et cosinus et mathématiquement on peut considérer qu’elles forment la base d’un espace algébrique (vectoriel). Tant qu’elles ne sont pas multipliées entre elles, il n’y a aucune raison de sortir de cet espace. Ce qui est le cas ici et donc la solution de cette équation pourra toujours être décomposé sur une base en exp(i(1+a)w ₂₁) et exp(i(1-a)w ₂₁).

On comprend donc intuitivement l’apparition d’une fréquence " lente " (1-a)w ₂₁ (=0,2w ₂₁ pour la simulation) et d’une fréquence " rapide " (1+a)w ₂₁ (=1,8w ₂₁) qui module la première. D’où la courbe figure 2.

Pour valider ce raisonnement, on peut numériquement effectuer une transformée de Fourrier (FFT) pour passer dans le domaine des fréquences, on obtient alors le graphe suivant :


Figure 3

Graphe obtenu en utilisant la fonction FFT (Fast Fourrier Transform) de Matlabä sur la probabilité de présence de l’état |y ₁> :

y=abs(fft(probabilite1(:,1)));

w=2*pi*t1*itmax1/(w21*tf^2);

plot(w,y);

axis([0 2 0 100]);

Remarque :

Il apparaît aussi un pic pour la pulsation w = 1,6w ₂₁. Ceci est du au fait que comme dit précédemment, nos équations sont " linéaires " en exp(i(1+a)w ₂₁) et exp(i(1-a)w ₂₁). Or, la probabilité elle est donnée par le carré de b(t)=C.L.(exp(i(1+a)w ₂₁),exp(i(1-a)w ₂₁)). Les termes croisés et quadratiques vont donc apparaître ; notamment :

(1+a)w ₂₁-(1-a)w ₂₁ = 2aw ₂₁ = 1,6w ₂₁ (avec a=0,8)
(1+a)w ₂₁+(1-a)w ₂₁ = 2w ₂₁
2(1+a)w ₂₁ = 3,6w ₂₁
2(1-a)w ₂₁ = 0,4w ₂₁

Toutes ces fréquences n’apparaissent pas (ou peu) figure 3 car la modélisation n’est pas faite sur un temps infini et comme il s’agit de termes quadratiques avec comme hypothèse de départ une perturbation de faible amplitude (C = 0,03 pour la simulation) ils sont proportionnels à C² et donc négligeables.

De plus, comme il s’agit ici d’une simulation numérique, arrive un moment où les valeurs sont tronquées et discrétisées, de ce fait d’autres non-linéarités sont introduites. Comme tout signal, on peut décomposer en série de Fourrier et ainsi faire apparaître les harmoniques (multiples des fréquences du système) lors du passage à la FFT. D’où les pics secondaires (1,4w ₂₁, 0,8w ₂₁, etc.).

W(t) = C.sin(w t) :

Le raisonnement est absolument analogue à celui fait précédemment. Il suffit de remplacer le sinus dans les équations par son expression exponentielle complexe : . Le signe " - " va simplement introduire une phase pour l’oscillation " rapide " visible figure 2. Les conclusions seront alors identiques.

Etude à la résonnance (a = 1 et cas du cosinus) :

Partons de l’approximation du développement perturbatif en puissance de l vu plus haut. Au premier ordre, on peut écrire :




On a donc la probabilité :



Ce qui n’a pas de sens pour une probabilité qui doit rester inférieure à 1. Cela implique donc que pour que l’approximation soit valable on doit se limiter à travailler sur des temps très courts ( quantitativement : ).

Ceci dit, on peut conjecturer que le système étant fermé et à deux états, la probabilité va être bornée entre 0 et 1. La simulation numérique confirme :

Figure 4

La résonance entraîne donc l’inversion des états du système comme on pouvait s’y attendre.

Remarque :

Il peut être intéressant de regarder au bout de combien de temps on a inversion de population. Numériquement on constate que ce phénomène se produit tous les :



(n=0,1,2,…C=0.08 figure 4)

Analytiquement, on peut retrouver une formule générale en partant de l’approximation séculaire que l’on verra plus bas connu sous le nom de formule de Rabi.

3)Perturbations exponentielles complexes

W(t) = C.exp(+iw t) :

Notre système à deux équations s’écrit donc :



On ne voit apparaître ici qu’une fréquence : la fréquence de résonance (1-a)w ₂₁. Ce système se résout analytiquement  :

Posons d w = (1-a)w ₂₁. On a alors :



Par la méthode des changements de variables : il vient :

avec

Il s’agit donc d’un système d’équations différentielles couplées à coefficients constants. La résolution ne pose pas de problème particulier et au final on obtient :



Nous avons donc une oscillation d’une seule fréquence : . La simulation numérique (figure 2) confirme.

W(t) = C.exp(-iw t) :

La démarche est strictement la même que dans le cas précédent. Nous obtenons la même formule pour la probabilité. La différence réside maintenant dans le fait que d w = (1+a)w ₂₁ fréquence anti-résonante.

Etude à la résonnance  :

A la résonance nous avons donc soit d w = 0 soit d w = 2w ₂₁. Dans le premier cas, la probabilité prend alors la forme :



4)Approximation séculaire et conclusion

Reprenons le système de la perturbation réelle en cosinus :



Nous avons des coefficients b_i(t) qui sont proportionnels soit à soit à . L’approximation séculaire consiste à négliger se second type de termes qui oscillent beaucoup plus rapidement. Ainsi nous obtenons le système suivant :



Ce qui, à un facteur 2 près, est le système de la perturbation en exp(+iw t). Il en va de même pour le sinus qui lui devient alors l’exp(-iw t).

Conclusion : l’approximation séculaire revient à en quelque sorte ajouter " arbitrairement " une partie complexe dans la perturbation. Celle-ci étant un objet physique, la considérer comme ayant un caractère complexe ne reflète pas la réalité mais simplifie considérablement les calculs pour à la fin ne faire ressortir que la fréquence de résonance (en utilisant exp(+iw t)) où d’anti-résonance (avec exp(-iw t)).

Une impulsion laser, est un train d’onde sinusoïdal d’enveloppe Gaussienne :



Nous nous placerons bien évidemment à la résonance (a = 1) pour que la perturbation ait le maximum d’efficacité. Et pour les raisons que l’on a vu plus haut, on prendra l’exponentielle complexe f(t) = (exp(+iw t)).

Cette perturbation a physiquement la forme suivante :

Figure 5

Nous pouvons voir le perturbations du paragraphe précédent comme des impulsions laser d’enveloppe carrée. Nous avons constaté alors que l’inversion de population se produisait tous les (avec C = 0,08 et n étant le nombre d’inversions de populations).

La surface d’une Gaussienne est donnée par : .

Dans l’autre cas nous obtenons la relation approchée (C = 0,08) :



Remarque :

Il est facile de trouver une formule analytique puisque on a vu qu’à la résonance avec l’approximation séculaire . La formule exacte est donc :



Ce qui dans notre cas donne ( ) :



Simulation numérique :

Prenons par exemple n = 3 ( Þ 3 inversions de populations) :

Figure 6

La simulation numérique confirme donc les calculs théoriques.

Nous avons donc réaliser un système de pompage électromagnétique. En effet, l’impulsion laser, si elle la bonne durée, inverse les populations. On peut donc créer ainsi un deuxième laser pompé par le premier.